Matlab 基礎知識-3

矩陣 (Matrices)

變數 (Variables) 在給予陣列賦值時，需以方括號 [] 作為開頭和結尾，以英文逗號 , 或空格分割同行元素，以英文分號 ; 分割各列。
例如在 Command Window 裡輸入

% 以下為輸入指令
>> a = [1 2;3 4]
% 會看到以下輸出結果
a =
     1     2
     3     4

Info

程式識別順序為先列再行

同時 Workspace 會出現田字形變數 a，說明 a 為數值型變數。

向量 (Vectors) & 數值 (Numeric)

向量 (Vectors) & 數值 (Numeric) 在 Matlab中，兩者可以視為特殊矩陣。

向量 (Vectors)

a=[1 2] 對應為列向量 (Row)。

% 以下為輸入指令
>> a=[1 2]
% 以下為輸出結果
a =
     1     2

a=[1;2] 對應為行向量 (Column)。

% 以下為輸入指令
>> a=[1;2]
% 以下為輸出結果
a =
     1
     2

數值 (Numeric)

在對單一數值 (Numeric) 做變數宣告時 a=[1]，可以簡寫為 a=1。

向量 (Vectors) & 數值 (Numeric) 運算方式

向量 (Vectors) & 數值 (Numeric) 都是矩陣 (Matrices)，矩陣之間最基本的運算有加、減、乘、除、次方、轉置，運算符分別對應的是+、-、*、/、^、’，與數學中一般表示無異，後續說明矩陣的運算方式。

先設立變數 a=[1 2]、b=[1 3]、c=[1;2]

% 以下為輸入指令
>> a=[1 2]
>> b=[1 3]
>> c=[1;2]
% 以下為輸出結果
a =
     1     2
b =
     1     3
c =
     1
     2

矩陣加減法

矩陣加減法與一般的數學計算沒什麼不同，但值得注意的是，不同階的矩陣，在新版的 Matlab 中，會自動擴展矩陣進行計算，以下為範例
設 a=[1 2]、b=[1 3]、c=[1;2]

% 以下為輸入指令
>> d=a+b
% 以下為輸出結果
d =
     2     5

% 以下為輸入指令
>> d=a-b
% 以下為輸出結果
d =
     0    -1

% 以下為輸入指令
>> d=a+c				%不同階的矩陣，在新版的 Matlab 中，會自動擴展矩陣進行計算
% 以下為輸出結果
d =
     2     3
     3     4

矩陣乘除法

矩陣乘法只有第一個矩陣的行數等於第二個矩陣的列數時，才能進行，以下為範例
設 a=[1 2]、b=[1 3]、c=[1;2]

% 以下為輸入指令
>> d=a*c
% 以下為輸出結果
d =
     5
% 這種計算方式符合規則是可以進行的

% 以下為輸入指令
>> d=a*b
% 以下為輸出結果
Error using  * 
Incorrect dimensions for matrix multiplication. Check that the number of columns in the
first matrix matches the number of rows in the second matrix. To perform elementwise
multiplication, use '.*'.
% 這種計算在數學上沒有定義，需要使用到 .* 符號，後續會說明

另外也可以以下方式進行計算

% 以下為輸入指令
>> [1*4  2*5  3*6]
% 以下為輸出結果
ans =
     4    10    18

% 以下為輸入指令
>> [1/4  2/5  3/6]
% 以下為輸出結果
ans =
    0.2500    0.4000    0.5000

此外矩陣與數的乘除，由於數可以看做 1*1 的矩陣，計算方式如下

% 以下為輸入指令
>> d=a*2
% 以下為輸出結果
d =
     2     4

% 以下為輸入指令
>> d=a/2
% 以下為輸出結果
d =
    0.5000    1.0000

次方

如果 A 為方陣正數，則 A^p 可以將 A 乘以其自身 p 次方

% 以下為輸入指令
>> A = [1 1 1;1 2 3;1 3 6]
% 以下為輸出結果
A =
     1     1     1
     1     2     3
     1     3     6

% 以下為輸入指令
>> d = A^2
% 以下為輸出結果
d =
     3     6    10
     6    14    25
    10    25    46
% A^2 語法等於 A*A

如果 A 為方陣負數，則 A^(-p) 可以將 A 乘以其自身 -p 次方

% 以下為輸入指令
>> A = [1 1 1;1 2 3;1 3 6]
% 以下為輸出結果
A =
     1     1     1
     1     2     3
     1     3     6

% 以下為輸入指令
>> d = A^(-1)
% 以下為輸出結果
d =
     3    -3     1
    -3     5    -2
     1    -2     1

另外元素 (element) 之間，也可以用次方做計算，計算方式如下

% 以下為輸入指令
>> [1^3  2^3  3^3]
% 以下為輸出結果
ans =
     1     8    27

特殊運算符號

Matlab 提供了一些特殊的運算符號，除了剛剛所提到的點乘 .*，還有其他例如點除 ./ 和點方 .^，這些運算符在本身的運算符前加一個點，這些運算符有很多叫法，比如 .*，一般稱為點乘、元素乘、數乘，這些叫法都是為了讓這個運算符區別於普通的乘法。簡單而言，這些運算的含義是將矩陣作為一般的數來進行運算。

• 點計算是數組的運算，不加點是矩陣的運算
• 點乘除要求參與運算的兩個向量兩必須是維數相同，是對應元素的相乘除
• 不加點表示的是矩陣相乘除（除的時候通過逆矩陣來實現），要求內維相同，也就是前一個矩陣的行的維數等於後一個矩陣的列的維數。

.* 運算符號執行按元素乘法，允許將兩個大小相同的數組的對應元素相乘
設 a=[1 2]、b=[1 3]、c=[1;2]

% 以下為輸入指令
>> d=a.*b
% 以下為輸出結果
d =
     1     6

% 以下為輸入指令
>> [1 2 3].*[4 5 6]
% 以下為輸出結果
ans =
     4    10    18

% 以下為輸入指令
>> [1 2 3]./[4 5 6]
% 以下為輸出結果
ans =
    0.2500    0.4000    0.5000

% 以下為輸入指令
>> [1 2 3].^3
% 以下為輸出結果
ans =
     1     8    27

Warning

特別注意只有同樣維度的矩陣才能進行這種特殊運算。另外點除還要注意不要除以零，除以零在數學上沒有定義，所以這種除法其實已經失去了意義。

轉置

任何維度的矩陣都可以進行轉置運算
設 a=[1 2;3 4]，其值顯示如下

a =
     1     2
     3     4

% 以下為輸入指令
>> d=a'
% 以下為輸出結果
d =
     1     3
     2     4

矩陣提值

如果我們想要提取矩陣中的特定數值，可以以下列方式進行
設 a=[1:3;4:6]，其值顯示如下

a =
     1     2     3
     4     5     6

於變數後面加圓括號，在圓括號中就可以指定想要提取矩陣位置的數值 (稱為序數)，e.g. b=a(2,3)，範例如下

% 以下為輸入指令
>> b=a(2,3)					% 代表將矩陣 a 的第二列第三行的數值賦給予 b
% 以下為輸出結果
b =
     6

也可以直接提取矩陣 a 的特定值，e.g. a(2,3)

% 以下為輸入指令
>> a(2,3)						% 顯示矩陣 a 的第二列第三行的數值
% 以下為輸出結果
ans =
     6

提取特定位置特定數量的值，e.g. a(2,1:2)

% 以下為輸入指令
>> a(2,1:2)					% 提出第二列第一到第二元素的數值
% 以下為輸出結果
ans =
     4     5

修改矩陣部分數值方法

設 a=[1:3;4:6]，其值顯示如下

a =
     1     2     3
     4     5     6

可以指定替換矩陣特定位置的值，e.g. 將矩陣 a 第一列第二行的值替換為 1，其值顯示如下

% 以下為輸入指令
>> a(1,2)=1
% 以下為輸出結果
a =
     1     1     3
     4     5     6

也可以新增特定位置的值，e.g 在第二列第八行新增一個值為 10，其值顯示如下

% 以下為輸入指令
>> a(2,8)=10
% 以下為輸出結果
a =
     1     2     3     0     0     0     0     0
     4     5     6     0     0     0     0    10
% 空缺區域會以 0 補足

另外也可以在原矩陣新增一列 (行) 陣列

% 以下為輸入指令
>> a = [a;1 3 5]
% 以下為輸出結果
a =
     1     2     3
     4     5     6
     1     3     5

如果想要刪去特定值可以以 [] 做為空集合刪除

% 以下為輸入指令
>> a(2) =[]
% 以下為輸出結果
a =
     1     2     5     3     6				% 刪除了第二列第一行的數，這個數是排列第二個的元素

想要刪除特定行或列，可以以:做為特定的「整行」或「整列」做刪除，其中這裡的:代表全部

% 以下為輸入指令
>> a(:,2) = []				% 刪除第二行全部數值
% 以下為輸出結果
a =
     1     3
     4     6

如欲將多個元素進行替換，可輸入指令 a([1 2],[1 2])=[1 2;3 4]，其值會更改如下

% 以下為輸入指令
>> a([1 2],[1 2])=[1 2;3 4]
% 以下為輸出結果
a =
     1     2     3
     3     4     6

Info

序數必須為自然數，且不能為零。

end 指令

設a=[1:3;4:6;7:9]

a =
     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

輸入指令 x = a(end,2)，其中 end 表示終點，這句指令描述取得第二行最後一列的數

% 以下為輸入指令
>> a(end,2)
% 以下為輸出結果
ans = 
		8

輸入指令 a(1:end,1) ，其中 end 表示終點，範例如下

% 以下為輸入指令
>> a(1:end,1)					% (第一列:最後一列,第一行)，這句指令描述取第一行的第一列到最後一列所有值
% 以下為輸出結果
ans =
     1
     4
     7

% 另一個範例
% 以下為輸入指令
>> a(2:end,1)					 % (第二列:最後一列,第一行)，這句指令描述取第一行的第二列到最後一列所有值
% 以下為輸出結果
ans =
     4
     7

如單純需要取某一行所有的值，其指令可簡寫如下，這裡的冒號:代表從頭到尾

% 以下為輸入指令
>> a(:,3)						% 取得第三行所有數
% 以下為輸出結果
ans =
     3
     6
     9

% 以下為輸入指令
>> a(:,2:3)					% 取得最後二行所有參數可輸入
% 以下為輸出結果
ans = 
     2     3
     5     6
     8     9

另外算術運算可與 end 結合使用

% 以下為輸入指令
>>> a(end-1,2)				% 取第二行最後一列再減一列的數
% 以下為輸出結果
ans = 
		5

分塊矩陣

分塊矩陣可以將兩個矩陣擺放在一起形成一個矩陣
設a=[1:3;4:6;7:9]

a =
     1     2     3
     4     5     6
     7     8     9

輸入指令 b=[a a]

% 以下為輸入指令
>> b=[a a]
% 以下為輸出結果
b =
     1     2     3     1     2     3
     4     5     6     4     5     6
     7     8     9     7     8     9

::這種計算法方式需滿足矩陣行列數要求::

以下為錯誤範例

% 以下為輸入指令
>> a=[1 1]
% 以下為輸出結果
a =
     1     1

% 以下為輸入指令
>> b=[1;1]
% 以下為輸出結果
b =
     1
     1

% 以下為輸入指令
>> c=[a b]
% 以下為輸出結果
Error using horzcat
Dimensions of arrays being concatenated are not consistent.
% 這個錯誤是因為此時 a 與 b 的行列數無法相符擺放在一起

符號矩陣

在進行符號運算之前，我們可用 syms 指令來定義符號變數

% 以下為輸入指令
>> syms a11 a12 a21 a22			% 定義符號變數，符號變數會輸出在視窗右方的 Workspace
>> a=[a11 a12;a21 a22]
% 以下為輸出結果
a =
[ a11, a12]
[ a21, a22]

Workspace 會顯示

這代表我們獲得了一個符號矩陣 a